数学のページ（第二種スターリング数, ベルヌーイ数、n倍角の公式など）

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・n倍角の公式	三角関数のn倍角の公式。
・n次元球面の方程式	n=1なら、3点を通る円の方程式です。
・べき乗和の公式	ベルヌーイ数についても。
・n個の物をr個のグループに分ける場合の数	第二種スターリング数についても。
・隣接3項間漸化式のちょっと変わった公式	特性方程式を解かなくても一般項が分かります。
・n人でじゃんけんをしてあいこになる確率	3通りの求め方を紹介。

↓ここで紹介している公式の一部です♪
$\sin n\theta = \cos^{\frac{1+(-1)^n}{2}}\theta\sum_{i=0}^{\lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor}\left\{(-1)^{\lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor-i}\left(\sum_{j=i}^{\lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor}{}_nC_{2(j-i)+1}\cdot{}_{\lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor-(j-i)}C_i\right)\sin^{2(\lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor-i)+1}\theta\right\}$
$\cos n \theta = \sum_{i=0}^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor}\left\{(-1)^i\left(\sum_{j=i}^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor} {}_nC_{2j} \cdot {}_jC_i \right)\cos^{n-2i} \theta \right\}$
$\tan n \theta = \frac{\sum_{k=0}^{\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor}(-1)^k{}_nC_{2k+1}\tan^{2k+1}\theta}{\sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor}(-1)^k{}_nC_{2k}\tan^{2k}\theta}$
$\sum_{t=1}^{n+1} \left[x_t-{\sum_{j=1}^{n+2} \left\{ \left( \sum_{i=1}^{n+1} {x_{(i,j)}}^2 \right) \left( \sum_{\sigma \in S_{n+2}, \sigma(t)=j}\textrm{sgn}(\sigma) \prod_{i=1,i \neq t}^{n+1} x_{(i,\sigma(i))} \right) \right\} \over 2 \sum_{\sigma \in S_{n+2}} \textrm{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^{n+1} x_{(i,\sigma(i))}}\right]^2 = \displaystyle{\prod_{i < j} \sum_{k=1}^{n+1} \left(x_{(k,i)}-x_{(k,j)} \right)^2 \over \left(2 \sum_{\sigma \in S_{n+2}} \textrm{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^{n+1} x_{(i,\sigma(i))}\right)^2}$
$\sum_{i=1}^{n}i^m = \frac{1}{m+1}\sum_{i=0}^{m}{}_{m+1}C_{i}\left\{(-1)^i \sum_{j=0}^{i}\frac{1}{j+1} \sum_{k=0}^{j}(-1)^{k}{}_{j}C_{k} \cdot k^i\right\}n^{m-i+1}$
$\sum_{i=1}^{r}\frac{1}{i!}\sum_{j=1}^{i} (-1)^{i-j} \cdot {{}_{i}C_j} \cdot j^n$
$f_n=\sum_{i=0}^{\lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor-1}(-1)^{n-i} a^{-n+2+i} b^{n-3-2i} c^i ({}_{n-2-i}C_{i}b f_2+{}_{n-3-i}C_{i}c f_1)+\frac{1+(-1)^n}{2} f_2 \left(-\frac{c}{a}\right)^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor-1}$
$1-\frac{2^n-2}{3^{n-1}}$
$f_n = \sum_{i=1}^r f_i \sum_{\lambda \in \Lambda(n-i,r+1-i,r)} (-1)^{n-i+\sum_{k=1}^r \lambda_k} \sum_{j=r+1-i}^r \frac{\left(\sum_{k=1}^r \lambda_k-1 \right)!}{\prod_{k=1}^r \lambda_k!}\lambda_j \prod_{k=1}^r e_k^{\lambda_k} + \sum_{i=1}^{n-1} g(i) \sum_{\lambda \in \Lambda(n-r-i,0,r)} (-1)^{n-r-i+\sum_{k=1}^r \lambda_k} \frac{\left(\sum_{k=1}^r \lambda_k \right)!}{\prod_{k=1}^r \lambda_k!}\prod_{k=1}^r e_k^{\lambda_k}$